錯角が等しいことと平行であることの同値性の証明

直線ＡＢ（左から右へ）と直線ＣＤ（左から右へ）があり、その２本と交わる直線ＥＦ（上から下へ）がある。
ＥＦとＡＢの交点をＧ，ＥＦとＣＤの交点をＨとする。



まず、
（１）錯角が等しいとき平行をいう

方針としては、
「錯角が等しいときに２本の直線が交わるとしたら矛盾が生じる」
ことをいう

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ＡＢのＢの方向（右側）（ＣＤのＤの方向）で、ＡＢとＣＤが交わるとする。（その交点をＰとする）
ＨＰ＝ＧＱとなる点ＱをＡＢのＡの方向（左側）にとる。

∠ＱＧＨ＝∠ＰＨＧとする。
（ここで、それぞれを１８０度からひけば∠ＰＧＨ＝∠ＣＨＧもいえる）

すると△ＱＧＨ≡△ＰＨＧがいえる。
（ＧＨ＝ＨＧ,∠ＱＧＨ＝∠ＰＨＧ,ＨＰ＝ＧＱより）
よって、∠ＱＨＧ＝∠ＰＧＨ

ところで∠ＰＧＨ＝∠ＣＨＧだったので、ＱはＣＤ上にある。

２点ＰとＱがＡＢ，ＣＤ上にあることになって、ＡＢとＣＤは一致する。

これは２本の直線があると仮定したことに矛盾。
ゆえに「錯角が等しいときには平行」がいえた。
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（２）平行のとき錯角が等しいことをいう

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ＡＢ//ＣＤとする。
左側に∠ＤＨＧ＝∠ＩＧＨとなる点Ｉをとる。
このとき、証明の前半よりＩＧ//ＣＤ
ここで、平行線の公理（任意の直線について、その上にない任意の点を通る平行な直線は１本だけ存在する）より
ＩＧとＡＧは一致する。
つまり、∠ＡＧＨ＝∠ＤＨＧ。
ゆえに「平行のとき錯角が等しい」ことがいえた。
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以上（１）（２）より、錯角が等しいことと平行であることは同値。


（図がないのでわかりにくいのですが・・・）