ガロア理論の頂を踏む

石井俊全著

「一歩一歩を積み重ねれば必ずピークに辿り着きます」
という触れ込みで
5次方程式が根号で解けないことを証明することを目標とする本。

何より、無駄なガロアの伝記などは一切端折って、しかも最後まできちんとした証明を残す、という方針はとても好感がもてる。
2色刷で、まるで高校の参考書のような体裁も気に入った。

読んでみると、わかりやすいのかそうでないのかよくわからない。
今、中国剰余定理のところを読んでいるのだが、（見かけにだまされてきちんと読んでいないせいなのか）なんかわかりにくい。
著者も認めているとおり、この本の元ネタは草場公邦さんの「ガロワと方程式」のようだ。
草場先生の本の方を一生懸命読んだせいなのかもしれないが、なぜかあちらの方がわかりやすい気がしてしまった。

ガロア理論の本には、何度も挑戦して、そのたびに途中で挫折したり、わからないままページだけ読み終えることのくり返し。
はたして、この本は真の喜びを私にもたらしてくれるのだろうか。

「ガロアの群論」（中村亨）
「ガロワ理論最短コース」（梶原健）
「解いてわかるガロア理論」（藤田岳彦）
「数学ガールガロア理論」（結城浩）
「13歳の娘に語るガロアの理論」（金重明）
「天才ガロアの発想力」（小島寛之）
などなど。生誕２００年を機にずいぶんいろんなガロア本が出版された。
なのに、どの一冊とて満足に読み込めていない。
やはり草場先生の本をもう一度読み直すのが一番いいのかなあ、と思うこの頃。


追記
最初、この文章の中で索引がないと書いていましたが、間違いでした。申し訳ありません。

数とは何かそして何であるべきか

筑摩書房の渕野昌さんの訳。
デデキントの名著。

何がうれしいといって、ちゃんと横書きになったことくらいうれしいことはない。

今までの岩波のものはなんと縦書き。
まあ、名著に加えて訳もわかりやすかったので、縦書きでもまあ、読めはしたものの
やっぱり数学の本が縦書きというのには抵抗があった。
よほど、パソコンで打ち直して横書きで読もうと思ったほど。

その時間的損失を考えただけで、この本が横書きで書かれたことには感謝しています。
それから、訳注も本文のそばにあるため参照しやすい。
私が読んだのは第１部の連続性と無理数だけですが、このように、時代につれて
いろいろな訳がでることはとてもいいことだと思った。

数学文章作法 基礎編

著者の結城浩さんはこの本を通じて
「たったひとつの伝えたいこと」＝「読者のことを考える」
を手を変え品を変え、くり返しくり返し提示していきます。

第１章　読者
第２章　基本
第３章　順序と階層
第４章　数式と命題
第５章　例
第６章　問いと答え
第７章　目次と索引
第８章　たったひとつの伝えたいこと

という内容です。
第１章で読者のことを考えることの大切さを述べた後、
第２章では形式の大切さや文章の構造、語句や文章そのものの使い方、段落や章などについて事細かに紹介します。
第３章では順序と階層を工夫することによって読みやすくなることを説明しています。
第４章ではわかりやすい文章の書き方やメタ情報の大切さを述べています。
第５章では例の大切さを伝えます。
私は、彼の文章がとても好きなのですが、それは彼の文章がとてもわかりやすいからです。
そして、その理由は彼の例の上げ方の巧みさにあるのかなと感じています。
第６章はわかりやすい文章を紡ぐための問いかけの大切さを
第７章では目次と索引の大切さを述べ
最後に第８章でもう一度、この本の骨子であり、また、すべてである「読者のことを考える」ということの大切さを説いて終わっています。

名著です。

幸い（？）この書名には「基礎編」という言葉が加えてあります。
「基礎編」があるのならば「応用編」はいつでるんだろう、と楽しみでなりません。

この結城さんという人はほんとうにすばらしい数学啓蒙家だと思います。

結城さんの本を年少の頃から読める現在や未来の若者はほんとうにうらやましい気がします。

数について 連続性と数の本質

デーデキント　著
河野伊三郎 訳
岩波新書

やっと復刊。
５４０円。

数学ガール ガロア理論

とうとう、結城浩さんの数学ガールシリーズ第５弾が発売される。
しかも、内容はガロア理論。

とても楽しみ。
発売は６月１日の予定。

http://www.hyuki.com/girl/
（結城さんのウェブサイト）

http://www.amazon.co.jp/gp/product/4797367547/
(amazon)

タグ：結城浩

ガロア生誕２００年

今年はガロアが生まれて２００年。
１０月２５日が誕生日だったらしいが、ちょうど２００年前には、まだガロア理論と言うのはなかったんだな。

今日、「天才ガロアの発想力」（小島寛之）を読み直した。
この本のおかげで、もう一度ガロア理論を勉強してみようという気になった。
私にとって、とても大切な本である。

今、手元に
「天才ガロアの発想力」（小島寛之）
「数Ⅲ方式ガロアの理論」（矢カ部厳）
「１３歳の娘に語るガロアの数学」（金重明）
「ガロワと方程式」（草場公邦）
「群・環・体入門」（新妻弘・木村哲三）
の５冊がある。

どれも、わかりやすい（と思われる）本である。
来年（生誕２０１年）には、できれは、この５冊だけでもしっかりと理解をしたい。
なかなか仕事にかまけて、読む暇がとれないのだが、来年の目標である。

錯角が等しいことと平行であることの同値性の証明

直線ＡＢ（左から右へ）と直線ＣＤ（左から右へ）があり、その２本と交わる直線ＥＦ（上から下へ）がある。
ＥＦとＡＢの交点をＧ，ＥＦとＣＤの交点をＨとする。



まず、
（１）錯角が等しいとき平行をいう

方針としては、
「錯角が等しいときに２本の直線が交わるとしたら矛盾が生じる」
ことをいう

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ＡＢのＢの方向（右側）（ＣＤのＤの方向）で、ＡＢとＣＤが交わるとする。（その交点をＰとする）
ＨＰ＝ＧＱとなる点ＱをＡＢのＡの方向（左側）にとる。

∠ＱＧＨ＝∠ＰＨＧとする。
（ここで、それぞれを１８０度からひけば∠ＰＧＨ＝∠ＣＨＧもいえる）

すると△ＱＧＨ≡△ＰＨＧがいえる。
（ＧＨ＝ＨＧ,∠ＱＧＨ＝∠ＰＨＧ,ＨＰ＝ＧＱより）
よって、∠ＱＨＧ＝∠ＰＧＨ

ところで∠ＰＧＨ＝∠ＣＨＧだったので、ＱはＣＤ上にある。

２点ＰとＱがＡＢ，ＣＤ上にあることになって、ＡＢとＣＤは一致する。

これは２本の直線があると仮定したことに矛盾。
ゆえに「錯角が等しいときには平行」がいえた。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー



（２）平行のとき錯角が等しいことをいう

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ＡＢ//ＣＤとする。
左側に∠ＤＨＧ＝∠ＩＧＨとなる点Ｉをとる。
このとき、証明の前半よりＩＧ//ＣＤ
ここで、平行線の公理（任意の直線について、その上にない任意の点を通る平行な直線は１本だけ存在する）より
ＩＧとＡＧは一致する。
つまり、∠ＡＧＨ＝∠ＤＨＧ。
ゆえに「平行のとき錯角が等しい」ことがいえた。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

以上（１）（２）より、錯角が等しいことと平行であることは同値。


（図がないのでわかりにくいのですが・・・）

Conway's Game of Life

http://www.ibiblio.org/lifepatterns/

好きなサイト。
時々、左上の「Enjoy Life」を楽しんでいます。

「ライフゲイムの宇宙」（ウィリアム・パウンドストーン著）がおすすめ。

連分数について

http://homepage3.nifty.com/y_sugi/cf/cf10.htm

連分数について、ひたすら詳しいサイト。
難しすぎてほとんどわからない（というか、まともに読む「努力」さえできなかった）が、連分数って深い！と思ってしまう。

Ｓｕｇｉｍｏｔｏさんの「数学研究ノート」（http://homepage3.nifty.com/y_sugi/index.htm）より

TVドキュメンタリー「フェルマーの最終定理」 Part 1/4

http://www.youtube.com/watch?v=9hMDquJ9UrQ&feature=related

サイモン・シンの本を読んで以来、ずっと見たかった番組を見ることができた。
感謝したい。

本に比べて、とても簡単に紹介されてはいるが、写真ではなく、生の（動く）ワイルズを見ることができたことが大きい。
インタビューを通じて見るワイルズはとてもいい人だった。

著作権などの問題があるのだろうが、よい番組をみんなが見ることができるようにすることはとても大切なことではないかと思った。

タグ：サイモン・シン BBC